Operaciones con polinomios

 Unidad I: Algebra 

Contenido: Operaciones con polinomios 

• Multiplicación de monomio por monomio 

• Multiplicación de monomio por polinomio 

• multiplicación de polinomio por polinomio 

Capacidades

Resuelve multiplicación con polinomios  en la solución de problemas algebraicos y situaciones de su entorno

 

Multiplicación de expresiones algebraicas 

Antes de estudiar la multiplicación estudiaremos algunas propiedades fundamentales de la potenciación. 

Teoremas: 

Si  y  son enteros positivos y  entonces 

1. Productos de potencias con igual base: 

El producto de dos o más potencias de igual base es igual a otro potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores: 

am∙an=am+n$${𝒂}^{𝒎}\bullet {𝒂}^{𝒏}={𝒂}^{𝒎+𝒏}$$

Ejemplo:   x3∙x2=x3+2=x5$${𝒙}^{\mathrm{𝟑}}\bullet {𝒙}^{\mathrm{𝟐}}={𝒙}^{\mathrm{𝟑}+\mathrm{𝟐}}={𝒙}^{\mathrm{𝟓}}$$

 

Multiplicación de monomios 

Para multiplicar un monomio por un monomio se multiplican los coeficientes y luego se multiplican las potencias con base variables iguales 

Ejemplo.  Efectuar  (3x2)(4xy2)=(3)(4)multiplicaciónde los coeficientesx2xmultiplicaciónde potenciasde igual basey2=12x3y2$$\left(\mathrm{𝟑}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}\right)\left(\mathrm{𝟒}𝒙{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}\right)=\underset{\begin{array}{c}𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏\\ 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 \\ 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔\end{array}}{\underbrace{\left(\mathrm{𝟑}\right)\left(\mathrm{𝟒}\right)}}\underset{\begin{array}{c}𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏\\ 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔\\ 𝒅𝒆 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 \\ 𝒃𝒂𝒔𝒆\end{array}}{\underbrace{{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒙}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}=\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}$$

Ejemplo.  Efectuar  (−5a3)(3ab)=(−5)(3)multiplicaciónde los coeficientesa3∙amultiplicaciónde potenciascon igual baseb=−15a4b$$\left(-\mathrm{𝟓}{𝒂}^{\mathrm{𝟑}}\right)\left(\mathrm{𝟑}𝒂𝒃\right)=\underset{\begin{array}{c}𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏\\ 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 \\ 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔\end{array}}{\underbrace{\left(-\mathrm{𝟓}\right)\left(\mathrm{𝟑}\right)}}\underset{\begin{array}{c}𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏\\ 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔\\ 𝒄𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒃𝒂𝒔𝒆\end{array}}{\underbrace{{𝒂}^{\mathrm{𝟑}}\bullet 𝒂}}𝒃=-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟓}{𝒂}^{\mathrm{𝟒}}𝒃$$   Ejemplo.  Efectuar  (−5x3y)(xy2)=−5x4y3$$\left(-\mathrm{𝟓}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}𝒚\right)\left(𝒙{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}\right)=-\mathrm{𝟓}{𝒙}^{\mathrm{𝟒}}{𝒚}^{\mathrm{𝟑}}$$

 

Multiplicación de monomio por polinomio: 

Para  multiplicar un monomio por un polinomio, se usa la propiedad distributiva. Distribuya el monomio sobre el polinomio, entonces según la propiedad distributiva tenemos.  

 

“El monomio se multiplica por cada uno de los términos del polinomio.” 

Ejemplo.  Efectuar  4x2y(3xy2+2x3y)=$$\mathrm{𝟒}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒚\left(\mathrm{𝟑}𝒙{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}+\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}𝒚\right)=$$   Solución.    4x2ymonomio(3xy2+2x3y)polinomio=(4x2y)(3xy2)+(4x2y)(2x3y)$$\underset{𝒎𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐}{\underbrace{\mathrm{𝟒}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒚}}\underset{𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐}{\underbrace{\left(\mathrm{𝟑}𝒙{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}+\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}𝒚\right)}}=\left(\mathrm{𝟒}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒚\right)\left(\mathrm{𝟑}𝒙{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}\right)+\left(\mathrm{𝟒}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒚\right)\left(\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}𝒚\right)$$                                          =12x3y3+8x5y2$$=\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}{𝒚}^{\mathrm{𝟑}}+\mathrm{𝟖}{𝒙}^{\mathrm{𝟓}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}$$

Ejemplo:  Efectuar  (35x3y)(25x2y+73xy−3)=$$\left(\frac{\mathrm{𝟑}}{\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}𝒚\right)\left(\frac{\mathrm{𝟐}}{\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒚+\frac{\mathrm{𝟕}}{\mathrm{𝟑}}𝒙𝒚-\mathrm{𝟑}\right)=$$   Solución.  (35x3y)(25x2y+73xy−3)=(35x3y)(25x2y)+(35x3y)(73xy)+(35x3y)(−3)$$\left(\frac{\mathrm{𝟑}}{\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}𝒚\right)\left(\frac{\mathrm{𝟐}}{\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒚+\frac{\mathrm{𝟕}}{\mathrm{𝟑}}𝒙𝒚-\mathrm{𝟑}\right)=\left(\frac{\mathrm{𝟑}}{\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}𝒚\right)\left(\frac{\mathrm{𝟐}}{\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒚\right)+\left(\frac{\mathrm{𝟑}}{\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}𝒚\right)\left(\frac{\mathrm{𝟕}}{\mathrm{𝟑}}𝒙𝒚\right)+\left(\frac{\mathrm{𝟑}}{\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}𝒚\right)\left(-\mathrm{𝟑}\right)$$                                           [Ecuación] =625x4y2+75x4y2−95x3y$$=\frac{\mathrm{𝟔}}{\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟒}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}+\frac{\mathrm{𝟕}}{\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟒}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}-\frac{\mathrm{𝟗}}{\mathrm{𝟓}}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}𝒚$$

 

Multiplicación de polinomios. 

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, cada término del primer polinomio se multiplica por cada uno de los términos del otro polinomio, luego se reducen términos semejantes si los hay. Una vez más se usa la propiedad distributiva. 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo: 

(2x+3)polinomio(binomio)(4x+6)polinomio(binomio)=$$\underset{\begin{array}{c}𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐\\ \left(𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐\right)\end{array}}{\underbrace{\left(\mathrm{𝟐}𝒙+\mathrm{𝟑}\right)}}\underset{\begin{array}{c}𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐\\ \left(𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐\right)\end{array}}{\underbrace{\left(\mathrm{𝟒}𝒙+\mathrm{𝟔}\right)}}=$$

 

Solución. 

 

 

 

 

 

Ejemplo: 

Efectuar: 

(−7x3+3x2)(2x2+3x−1)=$$\left(-7x^3+3x^2\right)\left(2x^2+3x-1\right)=$$

 

 

Solución: 

 

 

                                                                 

=−14x5−15x4+16x3−3x2$$=-14x^5-15x^4+16x^3-3x^2$$

 

 

 

Otro Modo de multiplicar polinomio consiste en multiplicar de la misma manera que con los números reales: escribiendo un polinomio bajo el otro  y efectuar la multiplicación de cada término del segundo polinomio por todos los términos del primer polinomio aplicando los teoremas sobre los exponentes y sumar los productos  poniendo en columna los términos semejantes 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo 

Efectuar. 

(a2m+1−5a2m+2)(a3m−3+6a3m−1−8a3m−2)=$$\left(a^{2m+1}-5a^{2m+2}\right)\left(a^{3m-3}+6a^{3m-1}-8a^{3m-2}\right)=$$

 

=a(2m+1)+(3m−3)+6a(2m+1)+(3m−1)−8a(2m+1)+(3m−2)−5a(2m+2)+(3m−3)−30a(2m+2)+(3m−1)+40a(2m+2)+(3m−2)                      $${=a}^{\left(2m+1\right)+\left(3m-3\right)}+6a^{\left(2m+1\right)+\left(3m-1\right)}-8a^{\left(2m+1\right)+\left(3m-2\right)}-5a^{\left(2m+2\right)+\left(3m-3\right)}-30a^{\left(2m+2\right)+\left(3m-1\right)}+40a^{\left(2m+2\right)+\left(3m-2\right)}$$

 

=a5m−2+6a5m−8a5m−1−5a5m−1−30a5m+1+40a5m          $${=a}^{5m-2}+6a^{5m}-8a^{5m-1}-5a^{5m-1}-30a^{5m+1}+40a^{5m}$$

Reducimos términos semejantes 

=a5m−2+46a5m−13a5m−1−30a5m+1$${=a}^{5m-2}+46a^{5m}-13a^{5m-1}-30a^{5m+1}$$

 

 

          $$$$

 

EJERCICIOS PROPUESTOS 

1. Resuelva las siguientes multiplicaciones. 

1. (5x3)(−20x4y)=$$\left(5x^3\right)\left(-20x^{4}y\right)=$$
    

2. (−10m6p)(−5m2p3)=$$\left(-10m^{6}p\right)\left(-5m^2{p}^3\right)=$$
    

3. (6m2x+8n4x)(−7mx−6n5)=$$\left(6m^{2x+8}{n}^{4x}\right)\left(-7m^{x-6}{n}^5\right)=$$
    

4. (−5xy2z)(7x6y2z−3x5y−4xz)=$$\left(-5x{y}^{2}z\right)\left(7x^6{y}^{2}z-3x^{5}y-4xz\right)=$$
    

5. (−3ax+1b1−x)(3a2x+1b4x−7a2xb4x+1−4axb3x+1)=$$\left(-3a^{x+1}{b}^{1-x}\right)\left(3a^{2x+1}{b}^{4x}-7a^{2x}{b}^{4x+1}-4a^x{b}^{3x+1}\right)=$$
    

2. resuelva las siguientes multiplicaciones de polinomios. 

1. (3x−2y)(5x2−7y2−4xy)=$$\left(3x-2y\right)\left(5x^2-7y^2-4xy\right)=$$
    

2. (2x−5)(3x+2)=$$\left(2x-5\right)\left(3x+2\right)=$$
    

3. (4x−13y)(52x2+15y2−34xy)=$$\left(4x-\frac{1}{3}y\right)\left(\frac{5}{2}{x}^2+\frac{1}{5}{y}^2-\frac{3}{4}xy\right)=$$
    

4. (xm+3−2xm+1)(2xm+1−xm+2−xm)$$\left(x^{m+3}-2x^{m+1}\right)\left({2x}^{m+1}-x^{m+2}-x^m\right)$$
    

3.  Calcula la expresión polinomial del área del rectángulo siguiente