Unidad I: Algebra

 Unidad I: Algebra 

Contenido: 

• División de monomio por monomio 

• División de monomio por polinomio 

• División de polinomio por polinomio 

 

Capacidades

Resuelve  división  de polinomio aplicando su procedimiento correspondiente  de manera  correcta

 

Antes de poder dividir expresiones algebraicas, debemos estudiar una propiedad de la potenciación. 

Cociente de dos potencias con igual base: 

El cociente de dos potencias con igual base es igual a otra potencia de la misma base y como exponente la diferencia (resta) de los exponentes. 

Si 

x∈R$$x\in R$$

  

(x≠0) y m y n $$\left(x\ne 0\right) y m y n$$

 son enteros positivos. 

xm÷xn=xmxn=xm−n$${𝒙}^{𝒎}÷{𝒙}^{𝒏}=\frac{{𝒙}^{𝒎}}{{𝒙}^{𝒏}}={𝒙}^{𝒎-𝒏}$$

Ejemplo.  x8x5=x8−5=x3$$\frac{{𝒙}^{\mathrm{𝟖}}}{{𝒙}^{\mathrm{𝟓}}}={𝒙}^{\mathrm{𝟖}-\mathrm{𝟓}}={𝒙}^{\mathrm{𝟑}}$$

 

División de expresiones algebraicas 

División de monomios: 

Se dividen los coeficientes y se dividen las potencias con igual base que tienen como base variables 

Ejemplo 

Efectuar: 

16x5÷8x2=$$16x^5÷8x^2=$$

 

Solución: 

Se divide por separados los coeficientes numéricos y las potencia con igual base, es decir se dividen los coeficientes y se dividen las potencias con igual base que tienen como base variables. 

 

 

16x5÷8x2=16x58x2=168se dividenlos coeficiente∙x5x2se dividenlas potenciascon igual base=2x5−2=2x3$$\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}{𝒙}^{\mathrm{𝟓}}÷\mathrm{𝟖}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}=\frac{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}{𝒙}^{\mathrm{𝟓}}}{\mathrm{𝟖}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}}=\underset{\begin{array}{c}𝒔𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏\\ 𝒍𝒐𝒔 \\ 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆\end{array}}{\underbrace{\frac{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}}{\mathrm{𝟖}}}}\bullet \underset{\begin{array}{c}𝒔𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏\\ 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔\\ 𝒄𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 \\ 𝒃𝒂𝒔𝒆\end{array}}{\underbrace{\frac{{𝒙}^{\mathrm{𝟓}}}{{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}}}}=\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟓}-\mathrm{𝟐}}=\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}$$

 

Si los coeficientes no dan un número entero, se puede dejar en forma de fracción. Si el exponente de alguna variable es mayor en el divisor que en el dividendo se puede poner negativo o pasarlo al denominador con el exponente positivo. 

Ejemplo:  Efectuar:  7x3÷9x5=$$7x^3÷9x^5=$$   Solución:  7x3÷9x5=7x39x5=79x−2=79x2$$\mathrm{𝟕}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}÷\mathrm{𝟗}{𝒙}^{\mathrm{𝟓}}=\frac{\mathrm{𝟕}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}}{\mathrm{𝟗}{𝒙}^{\mathrm{𝟓}}}=\frac{\mathrm{𝟕}}{\mathrm{𝟗}}{𝒙}^{-\mathrm{𝟐}}=\frac{\mathrm{𝟕}}{\mathrm{𝟗}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}}$$

Ejemplo:  Efectuar:  −24x3y2÷8xy2=$$-24x^3{y}^2÷8{xy}^2=$$   Solución:  −24x3y2÷8xy2=−24x3y28xy2=−3x3−1y2−2=−3x2$$-\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟒}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}÷\mathrm{𝟖}{𝒙𝒚}^{\mathrm{𝟐}}=\frac{-\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟒}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}}{\mathrm{𝟖}{𝒙𝒚}^{\mathrm{𝟐}}}=-\mathrm{𝟑}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}-\mathrm{𝟏}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}-\mathrm{𝟐}}=-\mathrm{𝟑}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}$$

 

División de un polinomio entre un monomio: 

Para dividir un polinomio entre un monomio, deberá dividirse cada término del polinomio entre el monomio. 

 

Para dividir un polinomio entre un monomio, deberá dividirse cada término del polinomio entre el monomio. 

Recordemos que: 

a+bc=ac+bc$$\frac{𝒂+𝒃}{𝒄}=\frac{𝒂}{𝒄}+\frac{𝒃}{𝒄}$$

 

Ejemplo:  Dividir   12x3y4+18x4y2−36x2y3   Entre 3x2y2$$\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}{𝒚}^{\mathrm{𝟒}}+\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}{𝒙}^{\mathrm{𝟒}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟔}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟑}} 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆 \mathrm{𝟑}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}$$   Solución.  (12x3y4+18x4y2−36x2y3) polinomio  ÷ (3x2y2)monomio=$$\underset{𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐}{\underbrace{(\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}{𝒚}^{\mathrm{𝟒}}+\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}{𝒙}^{\mathrm{𝟒}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟔}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟑}}) }} ÷ \underset{𝒎𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐}{\underbrace{\left(\mathrm{𝟑}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}\right)}}=$$   Dividimos cada término del polinomio entre el monomio.  12x3y4+18x4y2−36x2y33x2y2=12x3y43x2y2+18x4y23x2y2−36x2y33x2y2$$\frac{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}{𝒚}^{\mathrm{𝟒}}+\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}{𝒙}^{\mathrm{𝟒}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟔}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟑}}}{\mathrm{𝟑}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}}=\frac{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}{𝒚}^{\mathrm{𝟒}}}{\mathrm{𝟑}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}}+\frac{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}{𝒙}^{\mathrm{𝟒}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}}{\mathrm{𝟑}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}}-\frac{\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟔}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟑}}}{\mathrm{𝟑}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}}$$                                                    =4xy2+6x2−12y$$=\mathrm{𝟒}𝒙{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}+\mathrm{𝟔}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}𝒚$$

Ejemplo:  Dividir   16xy−4xy2+9x2y−12x2y2   Entre−3xy$$\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}𝒙𝒚-\mathrm{𝟒}𝒙{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}+\mathrm{𝟗}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒚-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}} 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆-\mathrm{𝟑}𝒙𝒚$$     Solución  16xy−4xy2+9x2y−12x2y2−3xy=$$\frac{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}𝒙𝒚-\mathrm{𝟒}𝒙{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}+\mathrm{𝟗}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒚-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}}{-\mathrm{𝟑}𝒙𝒚}=$$   =16xy−3xy−4xy2−3xy+9x2y−3xy−12x2y2−3xy$$=\frac{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}𝒙𝒚}{-\mathrm{𝟑}𝒙𝒚}-\frac{\mathrm{𝟒}𝒙{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}}{-\mathrm{𝟑}𝒙𝒚}+\frac{\mathrm{𝟗}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}𝒚}{-\mathrm{𝟑}𝒙𝒚}-\frac{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}}{-\mathrm{𝟑}𝒙𝒚}$$   =−163−43y−3x+4xy$$=-\frac{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}}{\mathrm{𝟑}}-\frac{\mathrm{𝟒}}{\mathrm{𝟑}}𝒚-\mathrm{𝟑}𝒙+\mathrm{𝟒}𝒙𝒚$$

 

 

División de polinomios 

Para dividir dos polinomios seguiremos los siguientes pasos 

1. Ordenamos cada polinomio en orden descendente según potencias con relación a una variable, incluyendo los términos con coeficientes cero para las potencias faltantes. 

2. Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Esto es el primer término del cociente 

3. Multiplicamos el primer término del cociente por el divisor  y este producto se lo restamos al dividendo. 

4. Utilizando el residuo obtenido como nuevo dividendo repetimos el proceso determinando así el segundo término del cociente. 

5. Continuamos el proceso hasta obtener un residuo  que sea igual a cero o de grado menor con respecto a la variable ordenatriz al divisor. Sí el residuo es cero, la división es exacta, si el residuo no es cero, la división no es exacta (inexacta). 

 

Ejemplo: 

Dividir 

5x3−14x+3$$\mathrm{𝟓}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟒}𝒙+\mathrm{𝟑}$$

  entre 

x−2$$𝒙-\mathrm{𝟐}$$

 

Solución: 

Ordenamos cada polinomio según potencias descendente con respecto a la variable , observe  que en el dividendo no aparece e termino que contiene , en esto casos el coeficiente es cero y formalmente lo hacemos aparecer en el polinomio para tener uniformidad en el proceso. 

Dividir   entre  

 

El resultado se expresa así: 

 

 

Ejemplo:    Dividir 4x5−18x3+8x2+18x$$4x^5-18x^3+8x^2+18x$$   Entre  2x2−3$$2x^2-3$$      Solución:       -4- 0 +6                                                                                                                                                                                                                                                                        0

Dividir:  3y5+5y2−12y+10$$3y^5+5y^2-12y+10$$   entre  y2+2$$y^2+2$$   Solución:  .

 

Ejercicios propuestos 

 

1. Resuelva las siguientes divisiones de monomio entre monomio y de polinomio entre monomio. 

1. Dividir 

   8a15$$\mathrm{𝟖}{𝒂}^{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟓}}$$
     entre 
   2a10$$\mathrm{𝟐}{𝒂}^{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}}$$
    

2. Dividir 

   −16a6b7$$-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}{𝒂}^{\mathrm{𝟔}}{𝒃}^{\mathrm{𝟕}}$$
     entre 
   −4a2b3$$-\mathrm{𝟒}{𝒂}^{\mathrm{𝟐}}{𝒃}^{\mathrm{𝟑}}$$
    

3. Dividir 

   6x4y2−4x3y3−8x2y4$$\mathrm{𝟔}{𝒙}^{\mathrm{𝟒}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟒}{𝒙}^{\mathrm{𝟑}}{𝒚}^{\mathrm{𝟑}}-\mathrm{𝟖}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟒}}$$
     entre 
   −2x2y2$$-\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}{𝒚}^{\mathrm{𝟐}}$$
    

4. Dividir 

   12a26ab−15a2b2$$\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒂}^{\mathrm{𝟐}}\mathrm{𝟔}𝒂𝒃-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟓}{𝒂}^{\mathrm{𝟐}}{𝒃}^{\mathrm{𝟐}}$$
     entre 
   3a$$\mathrm{𝟑}𝒂$$
    

2. Resuelva las siguientes divisiones de polinomio entre polinomio. 

1.  Dividir a4−a2−2a−1 entre a2+a+1$${ 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓 𝒂}^{\mathrm{𝟒}}-{𝒂}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟐}𝒂-\mathrm{𝟏} 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 {𝒂}^{\mathrm{𝟐}}+𝒂+\mathrm{𝟏}$$
    

2.  Dividir x5+12x2−5x  entre x2−2x+5$${ 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓 𝒙}^{\mathrm{𝟓}}+\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟓}𝒙 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 {𝒙}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟐}𝒙+\mathrm{𝟓}$$
    

3.  Dividir m5−5m4n+20m2n3−16mn4 entre m2−2mn−8n2$${ 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓 𝒎}^{\mathrm{𝟓}}-{\mathrm{𝟓}𝒎}^{\mathrm{𝟒}}𝒏+\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟎}{𝒎}^{\mathrm{𝟐}}{𝒏}^{\mathrm{𝟑}}-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}𝒎{𝒏}^{\mathrm{𝟒}} 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 {𝒎}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟐}𝒎𝒏-\mathrm{𝟖}{𝒏}^{\mathrm{𝟐}}$$
    

4.  Dividir x6−6x3−2x5−7x2−4x+6  entre x4−3x2+2$${ 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓 𝒙}^{\mathrm{𝟔}}-{\mathrm{𝟔}𝒙}^{\mathrm{𝟑}}-\mathrm{𝟐}{𝒙}^{\mathrm{𝟓}}-\mathrm{𝟕}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟒}𝒙+\mathrm{𝟔} 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 {𝒙}^{\mathrm{𝟒}}-\mathrm{𝟑}{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}+\mathrm{𝟐}$$